Считает дисперсию ряда чисел с подробным решением: среднее, таблица квадратов отклонений, выборочная и генеральная дисперсия, СКО, медиана, мода, размах, коэффициент вариации и стандартная ошибка.
Разбор формулы и теория
Дисперсия — это средний квадрат отклонения значений от их среднего арифметического. Она показывает, насколько сильно данные разбросаны вокруг центра: чем дисперсия больше, тем менее однородна совокупность и тем хуже среднее описывает ряд. Измеряется дисперсия в квадратах исходных единиц, поэтому на практике чаще пользуются её корнем — средним квадратическим отклонением (СКО, сигмой).
Различают две дисперсии. Генеральная σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n считается, когда в ряду записана вся изучаемая совокупность целиком: все 25 студентов группы, все 12 месяцев года. Выборочная (исправленная) S² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) нужна, когда числа — это лишь выборка из большой совокупности, а по ней оценивают разброс всей совокупности. Деление на (n − 1) вместо n называют поправкой Бесселя: оно устраняет систематическое занижение оценки. В большинстве учебных задач по математической статистике и в Excel (функция ДИСП.В) требуется именно выборочная дисперсия, а в задачах теории вероятностей о законе распределения — генеральная.
Порядок расчёта всегда один и тот же: находим среднее арифметическое, вычитаем его из каждого значения, возводим отклонения в квадрат, складываем и делим на n или на n − 1. Калькулятор показывает все эти шаги в виде таблицы, поэтому решение можно переписать в тетрадь целиком — с формулой, подстановкой и промежуточными суммами. Полезный контроль: сумма самих отклонений (без квадратов) всегда равна нулю.
Вместе с дисперсией страница считает и остальные описательные характеристики ряда: среднее, медиану, моду, размах, коэффициент вариации и стандартную ошибку среднего. Этого набора хватает для типовой лабораторной «первичная обработка статистических данных». Если же в задаче случайная величина задана таблицей распределения (значения xᵢ и вероятности pᵢ), нужен отдельный калькулятор — дисперсия дискретной случайной величины.
Пример решения задачи
Условие. Дана выборка объёма n = 10: 4, 8, 6, 5, 3, 7, 5, 9, 6, 7. Найти выборочную и генеральную дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.
1) Среднее: x̄ = (4+8+6+5+3+7+5+9+6+7) / 10 = 60 / 10 = 6.
2) Сумма квадратов отклонений: (4−6)² + (8−6)² + (6−6)² + (5−6)² + (3−6)² + (7−6)² + (5−6)² + (9−6)² + (6−6)² + (7−6)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 9 + 1 + 1 + 9 + 0 + 1 = 30.
3) Выборочная дисперсия: S² = 30 / (10 − 1) = 30 / 9 ≈ 3,333.
4) Генеральная дисперсия: σ² = 30 / 10 = 3.
5) СКО: S = √3,333 ≈ 1,826; σ = √3 ≈ 1,732.
6) Коэффициент вариации: V = 1,826 / 6 × 100% ≈ 30,4% — совокупность ещё однородна (V ≤ 33%).
Ответ: S² ≈ 3,33; σ² = 3; S ≈ 1,83; V ≈ 30,4%.
Частые вопросы
Чем выборочная дисперсия отличается от генеральной?
Формула одна, отличается делитель. Генеральная дисперсия σ² делится на n и применяется, когда в ряду вся совокупность целиком. Выборочная (исправленная) S² делится на n − 1 и применяется, когда числа — выборка, по которой оценивают разброс всей совокупности. При больших n разница между ними почти незаметна.
На что делить — на n или на n − 1?
Если в задаче сказано «выборка», «выборочная дисперсия», «исправленная дисперсия» — делите на n − 1. Если сказано «генеральная совокупность» или задан полный список объектов — делите на n. В Excel это функции ДИСП.В (n − 1) и ДИСП.Г (n).
Как посчитать дисперсию вручную?
Найдите среднее арифметическое, вычтите его из каждого значения, возведите отклонения в квадрат, сложите квадраты и разделите сумму на n (генеральная) или на n − 1 (выборочная). Калькулятор выводит все эти шаги с числами — их можно переписать в тетрадь.
Может ли дисперсия быть отрицательной?
Нет. Дисперсия — это сумма квадратов, делённая на положительное число, поэтому она всегда неотрицательна. Дисперсия равна нулю только тогда, когда все значения ряда одинаковы.
В каких единицах измеряется дисперсия?
В квадратах единиц исходных данных: если данные в рублях, дисперсия — в «рублях в квадрате». Чтобы вернуться к исходным единицам, извлекают корень и получают среднее квадратическое отклонение.
Как вводить дробные числа?
Можно и через точку, и через запятую: «1.5 2.75» или «1,5 2,75». Разделителями служат пробел, запятая, точка с запятой и перенос строки, поэтому столбец чисел можно просто скопировать из Excel.