Делит упорядоченный ряд на четыре части: считает первый квартиль Q₁, медиану Q₂, третий квартиль Q₃, межквартильный размах и границы выбросов по правилу полутора IQR.
Разбор формулы и теория
Квартили — это три значения, которые делят упорядоченный ряд на четыре равные по численности части. Ниже первого квартиля Q₁ лежит 25% наблюдений, ниже второго Q₂ (это медиана) — 50%, ниже третьего Q₃ — 75%. Квартили описывают не только центр распределения, но и его форму, поэтому именно на них строится «ящик с усами» (boxplot).
Классический учебный способ — метод Тьюки: сначала находим медиану всего ряда, она делит его на нижнюю и верхнюю половины. Затем Q₁ — это медиана нижней половины, Q₃ — медиана верхней. Если количество значений нечётное, саму медиану ни в одну из половин не включают. Именно этот метод чаще всего требуют в вузовских задачах, и он показан в решении первым.
Существует и метод линейной интерполяции — его используют Excel (QUARTILE.INC), Google Таблицы и большинство статпакетов. Позиция квартиля считается как (n − 1)·p, и если она дробная, значение берётся с интерполяцией между соседними наблюдениями. Результаты двух методов на малых выборках заметно расходятся, поэтому калькулятор показывает оба — выберите тот, который требует преподаватель.
Межквартильный размах IQR = Q₃ − Q₁ показывает разброс центральных 50% данных и, в отличие от обычного размаха, не зависит от выбросов. На нём основано правило 1,5·IQR: всё, что меньше Q₁ − 1,5·IQR или больше Q₃ + 1,5·IQR, считается выбросом. Калькулятор проверяет это и выводит список аномальных значений.
Пример решения задачи
Условие. Дан ряд: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49. Найти квартили, IQR и выбросы.
1) Ряд уже упорядочен, n = 11 — нечётное.
2) Медиана — шестой элемент: Q₂ = 40. Нижняя половина: 6, 7, 15, 36, 39; верхняя: 41, 42, 43, 47, 49.
3) Q₁ — медиана нижней половины (пять элементов, центральный третий) = 15. Q₃ — медиана верхней = 43.
4) IQR = 43 − 15 = 28.
5) Границы: 15 − 1,5·28 = −27 и 43 + 1,5·28 = 85. Все значения внутри границ, выбросов нет.
Ответ: Q₁ = 15, Q₂ = 40, Q₃ = 43, IQR = 28, выбросов нет.
Частые вопросы
Как найти первый квартиль Q1?
Упорядочьте ряд, найдите медиану, возьмите нижнюю половину данных и найдите её медиану — это и будет Q₁. При нечётном n сама медиана в половину не включается.
Что такое межквартильный размах?
IQR = Q₃ − Q₁ — ширина интервала, в котором лежат центральные 50% наблюдений. Он устойчив к выбросам, поэтому его предпочитают обычному размаху.
Как определить выбросы по квартилям?
Выбросом считают значение меньше Q₁ − 1,5·IQR или больше Q₃ + 1,5·IQR. Значения за границами 3·IQR называют экстремальными выбросами.
Почему мой ответ не совпал с Excel?
Excel использует метод линейной интерполяции, а в учебниках чаще применяют метод Тьюки (медианы половин). На малых выборках результаты различаются. Калькулятор показывает оба варианта — в шаге 3 и в шаге 6.
Что такое дециль и процентиль?
Это те же квантили, только ряд делится на 10 или на 100 частей. Квартили — это 25-й, 50-й и 75-й процентили.