Строит доверительный интервал для генерального среднего по выборке: считает среднее, стандартное отклонение и ошибку, находит критическое значение Стьюдента и выводит границы интервала.
Разбор формулы и теория
Доверительный интервал — это диапазон, который с заданной надёжностью γ накрывает неизвестное истинное среднее генеральной совокупности. Формулировка «95% доверительный интервал (13,6; 16,2)» означает: если много раз повторять исследование, в 95% случаев построенный таким образом интервал будет содержать настоящее значение параметра.
Порядок расчёта: находим выборочное среднее x̄ и выборочное стандартное отклонение S, затем стандартную ошибку среднего m = S/√n, затем по таблице Стьюдента берём критическое значение t для уровня значимости α = 1 − γ и числа степеней свободы df = n − 1. Предельная ошибка Δ = t·m и даёт полуширину интервала: границы равны x̄ ± Δ.
Распределение Стьюдента используют потому, что генеральное σ неизвестно и заменяется выборочной оценкой S — это добавляет неопределённости, и интервал получается шире, чем по нормальному закону. При больших n (свыше 30) t-распределение практически совпадает с нормальным, и вместо t можно брать z = 1,96 для 95%. Калькулятор показывает оба варианта для сравнения.
На ширину интервала влияют три фактора: разброс данных (чем больше S, тем шире), объём выборки (интервал сужается как 1/√n) и выбранная надёжность (99% даёт более широкий интервал, чем 95%). Чтобы сузить интервал вдвое, выборку нужно увеличить в четыре раза.
Пример решения задачи
Условие. По выборке из 10 измерений получено x̄ = 14,9 и S = 1,792. Построить 95% доверительный интервал для генерального среднего.
1) Стандартная ошибка: m = 1,792 / √10 = 1,792 / 3,162 ≈ 0,567.
2) df = n − 1 = 9, α = 0,05. По таблице Стьюдента t(0,05; 9) = 2,262.
3) Предельная ошибка: Δ = 2,262 · 0,567 ≈ 1,282.
4) Границы: 14,9 − 1,282 = 13,618 и 14,9 + 1,282 = 16,182.
Ответ: с надёжностью 95% генеральное среднее лежит в интервале (13,62; 16,18).
Частые вопросы
Что означает 95% доверительный интервал?
Что при многократном повторении выборочного исследования 95% построенных интервалов будут накрывать истинное значение генерального среднего. Это характеристика метода, а не вероятность для конкретного интервала.
Когда брать t, а когда z?
Если генеральное σ неизвестно и оценивается по выборке — берут t Стьюдента с df = n − 1. Если σ известно или выборка большая (n больше 30), допустимо z: 1,645 для 90%, 1,96 для 95%, 2,576 для 99%.
Как уменьшить ширину интервала?
Увеличить объём выборки — ширина убывает пропорционально 1/√n. Снижение надёжности с 99% до 95% тоже сужает интервал, но ценой достоверности.
Что такое предельная ошибка выборки?
Это Δ = t·m — половина ширины доверительного интервала, максимальное расхождение между выборочным и генеральным средним при заданной надёжности.
Сколько нужно наблюдений?
Из формулы Δ = t·S/√n объём выборки выражается как n = (t·S/Δ)². Задайте желаемую точность Δ и получите нужное n.