Дисперсия, СКО, корреляция, вероятность — с пошаговым решением по формулам
Линейная регрессия методом наименьших квадратов
Строит уравнение парной линейной регрессии методом наименьших квадратов: коэффициенты a и b, таблица остатков, коэффициент детерминации R², значимость и прогноз по заданному x.
Введите данные
Подставить пример:
Формула:ŷ = a + b·x, где b = [n·Σxy − Σx·Σy] / [n·Σx² − (Σx)²], a = ȳ − b·x̄
Пример: ŷ = 0,587 + 1,809·x, R² ≈ 0,995
Разбор формулы и теория
Линейная регрессия описывает зависимость результативного признака Y от фактора X уравнением прямой ŷ = a + b·x. Коэффициент b (наклон) показывает, на сколько единиц в среднем изменится Y при увеличении X на единицу, а свободный член a — расчётное значение Y при x = 0.
Коэффициенты подбирают методом наименьших квадратов (МНК): выбирается такая прямая, для которой сумма квадратов отклонений фактических значений от расчётных Σ(yᵢ − ŷᵢ)² минимальна. Решение системы нормальных уравнений даёт готовые формулы: b = [n·Σxy − Σx·Σy] / [n·Σx² − (Σx)²] и a = ȳ − b·x̄. Все нужные суммы калькулятор сводит в расчётную таблицу, как это делают в тетради.
Качество модели оценивают коэффициентом детерминации R² = 1 − SSE/SST: он показывает долю вариации Y, объяснённую фактором X. R² = 0,9 означает, что модель объясняет 90% изменчивости, а остальные 10% приходятся на прочие причины. Для парной линейной регрессии R² равен квадрату коэффициента корреляции Пирсона. Дополнительно калькулятор считает стандартную ошибку регрессии Sₑ и проверяет значимость коэффициента b по t-критерию.
Таблица остатков eᵢ = yᵢ − ŷᵢ помогает увидеть, где модель ошибается сильнее всего, и заметить нарушения предпосылок МНК. По найденному уравнению можно сделать прогноз: подставьте нужное значение x в поле прогноза. Прогнозировать далеко за пределами исходного диапазона X рискованно — линейная зависимость может там не выполняться.
Пример решения задачи
Условие. По данным X: 1, 2, 3, 4, 5 и Y: 3, 5, 6, 9, 11 построить уравнение регрессии и спрогнозировать y при x = 6.
4) Уравнение: ŷ = 0,5 + 2,1·x. Интерпретация: при росте x на единицу значение y растёт в среднем на 2,1.
5) Прогноз: ŷ(6) = 0,5 + 2,1·6 = 13,1.
Ответ: ŷ = 0,5 + 2,1x; при x = 6 прогноз 13,1.
Частые вопросы
Что такое метод наименьших квадратов?
Способ подбора коэффициентов прямой, при котором сумма квадратов отклонений фактических значений от расчётных минимальна. Именно он даёт стандартные формулы для a и b.
Как интерпретировать коэффициент b?
Он показывает среднее изменение Y при увеличении X на одну единицу. Если b = 2,1, то рост фактора на единицу сопровождается ростом результата в среднем на 2,1 единицы.
Что означает R²?
Коэффициент детерминации — доля вариации Y, объяснённая моделью. R² = 0,85 означает, что фактор X объясняет 85% изменчивости результата, остальное приходится на неучтённые причины.
Какой R² считается хорошим?
Зависит от области. В технических измерениях ждут выше 0,9, в экономике и социологии приемлемым считается 0,5–0,7. Важнее не само значение R², а значимость коэффициентов и содержательный смысл модели.
Можно ли прогнозировать за пределами данных?
Технически да, но результат ненадёжен: за пределами наблюдённого диапазона X зависимость может перестать быть линейной. Такой прогноз называют экстраполяцией и применяют осторожно.
Как связаны регрессия и корреляция?
Корреляция измеряет тесноту связи, регрессия описывает её форму уравнением. Для парной линейной модели R² = r², а знак наклона b совпадает со знаком коэффициента корреляции.