Разбор формулы и теория
Z-оценка (стандартизированное значение) показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего: z = (x − μ)/σ. Положительное z означает, что значение выше среднего, отрицательное — ниже. Стандартизация переводит любую нормальную величину в стандартную нормальную с μ = 0 и σ = 1, благодаря чему одну и ту же таблицу можно применять к любым задачам.
Главное применение z-оценки — расчёт вероятностей. Значение Φ(z) — функция распределения стандартной нормальной величины — даёт вероятность P(X < x). Отсюда P(X > x) = 1 − Φ(z), а вероятность попадания в интервал равна разности значений функции на его границах. В российских учебниках таблицы обычно содержат функцию Лапласа Φ₀(z) = Φ(z) − 0,5, поэтому калькулятор выводит и её.
Z-оценка удобна и для сравнения результатов из разных шкал: студент, набравший 85 баллов при среднем 70 и σ = 10, имеет z = 1,5; другой, набравший 60 при среднем 50 и σ = 5, имеет z = 2 и на самом деле показал результат лучше относительно своей группы. По той же логике строятся IQ-шкалы и нормированные тестовые баллы.
Правило трёх сигм следует прямо из свойств нормального закона: в интервал μ ± σ попадает 68,27% значений, в μ ± 2σ — 95,45%, в μ ± 3σ — 99,73%. Значения с |z| больше 3 встречаются реже трёх раз на тысячу и обычно трактуются как выбросы.