Пересчитывает вероятность гипотезы после появления новой информации: считает полную вероятность признака, апостериорную вероятность и отношение правдоподобия.
Разбор формулы и теория
Формула Байеса отвечает на вопрос: как изменится вероятность гипотезы, если мы узнали новый факт? До наблюдения у гипотезы есть априорная вероятность P(A). Получив информацию B, мы пересчитываем её в апостериорную P(A|B) = P(A)·P(B|A) / P(B), где знаменатель — полная вероятность признака B.
Полная вероятность считается по формуле P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā): признак может появиться и при верной гипотезе, и при неверной, поэтому оба пути суммируют. Это отдельный шаг решения, и в задачах его часто выделяют как «формулу полной вероятности».
Классический пример — медицинский тест. Пусть болезнь встречается у 1% людей, тест выявляет её в 99% случаев и даёт ложноположительный результат в 5% случаев у здоровых. Тогда при положительном тесте вероятность болезни всего около 17%, а не 99%: редкость болезни перевешивает точность теста. Этот эффект называют ошибкой базового процента, и он же лежит в основе задач про две фабрики, три станка и партии деталей.
Отношение правдоподобия LR = P(B|A) / P(B|Ā) показывает, во сколько раз наблюдение более ожидаемо при верной гипотезе, чем при неверной. Чем оно больше единицы, тем сильнее свидетельство в пользу гипотезы. Калькулятор считает его вместе с апостериорной вероятностью.
Пример решения задачи
Условие. Болезнь встречается у 1% людей. Тест даёт положительный результат у 99% больных и у 5% здоровых. Человек получил положительный тест. Какова вероятность, что он болен?
1) P(A) = 0,01 — вероятность болезни; P(Ā) = 0,99.
2) P(B|A) = 0,99; P(B|Ā) = 0,05.
3) Полная вероятность положительного теста: P(B) = 0,01 · 0,99 + 0,99 · 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594.
4) P(A|B) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 0,1667 ≈ 16,7%.
5) Вероятность болезни выросла с 1% до 16,7%, но всё ещё далека от 99% — потому что здоровых людей намного больше, и ложных срабатываний в абсолютном выражении больше, чем верных.
Ответ: около 16,7%.
Частые вопросы
Что такое формула Байеса простыми словами?
Это правило пересчёта вероятности гипотезы после получения новых данных: априорную вероятность умножают на вероятность наблюдения при этой гипотезе и делят на полную вероятность наблюдения.
Чем априорная вероятность отличается от апостериорной?
Априорная — до получения информации, апостериорная — после её учёта. Формула Байеса как раз и переводит первую во вторую.
Что такое формула полной вероятности?
P(B) = Σ P(Hᵢ)·P(B|Hᵢ) — вероятность события считается как сумма по всем возможным гипотезам. В байесовской формуле она стоит в знаменателе.
Почему при точном тесте вероятность болезни всего 17%?
Из-за редкости болезни. Среди 10 000 человек больны 100 (тест найдёт 99), а здоровых 9900, и 5% из них — 495 человек — получат ложноположительный результат. Верных срабатываний меньше, чем ложных.
Можно ли применить формулу к нескольким гипотезам?
Да: P(Hᵢ|B) = P(Hᵢ)P(B|Hᵢ) / ΣP(Hⱼ)P(B|Hⱼ). Калькулятор считает случай двух гипотез — «A» и «не A», к которому сводится большинство учебных задач.