Считает сразу четыре средних величины одного ряда — арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое — и объясняет, какое из них подходит для вашей задачи.
Разбор формулы и теория
Среднее арифметическое x̄ = Σxᵢ / n — самая известная средняя величина: сумму всех значений делят на их количество. Она подходит, когда величины складываются: суммарный доход, общее число баллов, суммарная масса. Главный недостаток — чувствительность к выбросам: одна аномально большая зарплата поднимает «среднюю зарплату» для всего коллектива.
Среднее геометрическое ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ) применяют там, где величины перемножаются: средний темп роста, средняя доходность за несколько лет, средний коэффициент. Если вклад рос на 10%, потом на 30%, средний рост — не 20%, а √(1,1 × 1,3) − 1 ≈ 19,6%. Геометрическое среднее определено только для положительных чисел.
Среднее гармоническое n / Σ(1/xᵢ) нужно, когда усредняются скорости, производительности и прочие «величины на единицу». Классика: половину пути машина ехала 60 км/ч, половину — 40 км/ч; средняя скорость равна не 50, а 2 / (1/60 + 1/40) = 48 км/ч. Среднее квадратическое √(Σxᵢ²/n) используют для усреднения величин, важных по модулю, — например, отклонений или амплитуд.
Между средними всегда выполняется неравенство: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое ≤ квадратическое, причём равенство достигается только когда все числа одинаковы. Калькулятор проверяет это соотношение на ваших данных.
Пример решения задачи
Условие. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, вторую — 40 км/ч. Найти среднюю скорость.
Пути равны, поэтому усредняем гармонически:
v = 2 / (1/60 + 1/40) = 2 / (0,016667 + 0,025) = 2 / 0,041667 = 48 км/ч.
Среднее арифметическое (60 + 40)/2 = 50 км/ч здесь было бы ошибкой: на медленном участке машина провела больше времени, поэтому средняя скорость ниже 50.
Ответ: 48 км/ч.
Частые вопросы
Как найти среднее арифметическое?
Сложите все числа и разделите сумму на их количество: x̄ = Σxᵢ / n. Например, для ряда 4, 9, 16, 25: (4 + 9 + 16 + 25) / 4 = 54 / 4 = 13,5.
Когда нужно среднее геометрическое?
Когда усредняются относительные величины, которые перемножаются: темпы роста, индексы, доходность по годам. Формула — корень n-й степени из произведения всех значений.
Когда применяют среднее гармоническое?
Когда усредняются величины вида «что-то на единицу чего-то»: скорость (км/ч), производительность (деталей в час), цена за единицу при равных суммах затрат.
Какое среднее больше?
Всегда выполняется цепочка: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое ≤ квадратическое. Все они равны между собой, только если все числа ряда одинаковы.
Чем среднее отличается от медианы?
Среднее учитывает величину каждого значения и потому чувствительно к выбросам, а медиана — это просто центральное значение упорядоченного ряда, на выбросы она почти не реагирует. Для несимметричных данных (доходы, цены) медиана обычно показательнее.