Считает сразу все основные комбинаторные величины: сочетания, размещения, перестановки и варианты с повторениями — с объяснением, какая формула нужна в вашей задаче.
Разбор формулы и теория
Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами». Выбор формулы определяется двумя вопросами: важен ли порядок элементов и могут ли элементы повторяться. Если порядок не важен и повторов нет — это сочетания Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!). Если порядок важен и повторов нет — размещения Aₙᵏ = n!/(n − k)!. Если используются все элементы и важен их порядок — перестановки Pₙ = n!.
Наглядный ориентир: выбрать 3 человек из 10 в команду — это сочетания (неважно, кого выбрали первым), а раздать трём из десяти участников первое, второе и третье места — размещения (порядок принципиален). Связь между ними простая: Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!, ведь каждый набор из k элементов можно упорядочить k! способами.
Когда элементы могут повторяться, формулы другие: размещения с повторениями считаются как nᵏ (например, число четырёхзначных PIN-кодов из десяти цифр равно 10⁴ = 10 000), а сочетания с повторениями — как C(n + k − 1, k) (сколькими способами купить 5 пирожных четырёх сортов).
Комбинаторика — фундамент классической вероятности: чтобы найти P(A) = m/n, и число благоприятных исходов m, и общее число исходов n обычно считают комбинаторными формулами. Полезно помнить свойства сочетаний: Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1, Cₙᵏ = Cₙ^(n−k), и что 0! = 1.
Пример решения задачи
Условие. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных? А сколькими способами выбрать старосту, заместителя и казначея?
1) Дежурные равноправны, порядок не важен — это сочетания:
C₂₅³ = 25! / (3!·22!) = (25 · 24 · 23) / (1 · 2 · 3) = 13800 / 6 = 2300 способов.
2) Должности разные, порядок важен — это размещения:
A₂₅³ = 25! / 22! = 25 · 24 · 23 = 13 800 способов.
3) Проверка связи: A = C · k! = 2300 · 6 = 13 800 ✔
Ответ: 2300 и 13 800 способов.
Частые вопросы
Чем сочетания отличаются от размещений?
В сочетаниях порядок элементов не важен, в размещениях важен. Поэтому размещений всегда больше: Aₙᵏ = Cₙᵏ · k!.
Как посчитать число сочетаний?
По формуле Cₙᵏ = n! / (k!·(n − k)!). На практике удобно сокращать: C₁₀³ = (10 · 9 · 8) / (1 · 2 · 3) = 120.
Чему равен 0!?
Нуль факториал равен единице: 0! = 1. Это соглашение делает формулы сочетаний и размещений корректными при k = 0 и k = n.
Как считать, если элементы могут повторяться?
Порядок важен — nᵏ (коды, пароли, номера). Порядок не важен — C(n + k − 1, k) (наборы, покупки нескольких одинаковых предметов).
Что такое перестановки с повторениями?
Если среди n элементов есть одинаковые группы по n₁, n₂, … штук, число различимых перестановок равно n!/(n₁!·n₂!·…). Так считают, например, число анаграмм слова с повторяющимися буквами.