Дисперсия, СКО, корреляция, вероятность — с пошаговым решением по формулам
Критерий Стьюдента (t-тест)
Проверяет гипотезу о равенстве средних: сравнивает две выборки между собой или одну выборку с заданным значением, считает t наблюдаемое, критические значения и p-value.
Оставьте поле пустым, если сравниваете одну выборку с заданным числом.
Введите данные
Формула:Две выборки: t = (x̄₁ − x̄₂) / √(S²об·(1/n₁ + 1/n₂)); одна: t = (x̄ − a₀)/(S/√n)
Критерий Стьюдента (t-тест) — основной инструмент проверки гипотез о средних, когда генеральная дисперсия неизвестна, а выборки небольшие. Схема одна: формулируем нулевую гипотезу H₀ (средние равны), считаем наблюдаемое значение критерия, сравниваем его по модулю с критическим из таблицы Стьюдента и делаем вывод.
Одновыборочный вариант проверяет, отличается ли выборочное среднее от заданного числа a₀: t = (x̄ − a₀)/(S/√n) при df = n − 1. Он нужен, например, чтобы проверить, соответствует ли партия деталей номинальному размеру. Двухвыборочный вариант сравнивает средние двух независимых выборок; при этом дисперсии объединяют во взвешенную S²об, а число степеней свободы равно n₁ + n₂ − 2.
Если |t_набл| больше критического значения, нулевая гипотеза отвергается: различие средних признаётся статистически значимым. Если меньше или равно — оснований отвергать H₀ нет, наблюдаемая разница объясняется случайностью выборки. Тот же вывод даёт p-value: при p меньше 0,05 гипотезу отвергают на уровне значимости 0,05.
Предпосылки применения: наблюдения независимы, признак распределён приблизительно нормально (для малых выборок это существенно), а дисперсии сравниваемых групп близки. При сильно различающихся дисперсиях применяют поправку Уэлча, при ненормальных данных — непараметрические критерии, например Манна — Уитни.
Пример решения задачи
Условие. В группе A (n = 7) средний балл 20,43 при S² = 2,952; в группе B (n = 6) средний балл 25,33 при S² = 4,667. Значимо ли различие при α = 0,05?
5) t_крит(0,05; 11) = 2,201, и |−4,56| больше 2,201.
Ответ: H₀ отвергается, различие средних статистически значимо на уровне 0,05.
Таблица критических значений t Стьюдента
Частые вопросы
Когда применяют t-критерий Стьюдента?
Когда нужно сравнить средние и генеральная дисперсия неизвестна, а выборки небольшие. Признак при этом должен быть распределён приблизительно нормально.
Как найти число степеней свободы?
Для одной выборки df = n − 1, для двух независимых выборок df = n₁ + n₂ − 2. Это число нужно для входа в таблицу критических значений.
Что значит p-value меньше 0,05?
Что наблюдаемое (или ещё большее) различие возникло бы случайно менее чем в 5% случаев, если бы средние были равны. Это основание отвергнуть нулевую гипотезу на уровне значимости 0,05.
Односторонний или двусторонний критерий?
Двусторонний применяют, когда проверяется просто «средние различаются». Односторонний — когда заранее интересует направление («первое больше второго»); его критическое значение меньше. Калькулятор считает двусторонний вариант.
Что делать, если данные не распределены нормально?
Использовать непараметрические критерии — Манна — Уитни для независимых групп или Вилкоксона для связанных, — либо увеличить объём выборки, при котором t-тест становится устойчив к отклонениям от нормальности.