Считает математическое ожидание дискретной случайной величины по таблице распределения, проверяет корректность закона и попутно находит дисперсию и СКО.
Разбор формулы и теория
Математическое ожидание M(X) — это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям: каждое возможное значение умножают на его вероятность и всё складывают. Это теоретический аналог среднего арифметического: если провести очень много испытаний, среднее наблюдённых значений будет стремиться к M(X) — в этом суть закона больших чисел.
Расчёт прост: заполняем строку произведений xᵢ·pᵢ и суммируем её. Обязательный предварительный шаг — проверить, что Σpᵢ = 1: если сумма отличается от единицы, в условии задачи ошибка или потеряно одно из значений. Математическое ожидание может не совпадать ни с одним из возможных значений величины: у игральной кости M(X) = 3,5, хотя такой грани не существует.
Свойства математического ожидания часто позволяют обойтись без таблицы: M(C) = C, M(CX) = C·M(X), M(X + Y) = M(X) + M(Y) для любых величин, M(XY) = M(X)·M(Y) для независимых. Для известных законов есть готовые формулы: биномиальное M = np, пуассоновское M = λ, равномерное на [a; b] — (a + b)/2.
На матожидании построена вся теория принятия решений: сравнивая M(X) двух вариантов, выбирают тот, где ожидаемый выигрыш выше. Но одного матожидания мало — важен ещё и разброс, который измеряет дисперсия. Поэтому калькулятор считает и D(X) с σ(X).
Пример решения задачи
Условие. Стрелок делает три выстрела. Число попаданий X принимает значения 0, 1, 2, 3 с вероятностями 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. Найти M(X).
1) Проверка: 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1 ✔
2) M(X) = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,4 + 3·0,2 = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
3) Смысл: в среднем стрелок делает 1,7 попадания за серию из трёх выстрелов.
4) Для полноты: M(X²) = 0 + 0,3 + 1,6 + 1,8 = 3,7; D(X) = 3,7 − 1,7² = 3,7 − 2,89 = 0,81; σ ≈ 0,9.
Ответ: M(X) = 1,7.
Частые вопросы
Как найти математическое ожидание?
Умножьте каждое значение случайной величины на его вероятность и сложите все произведения: M(X) = Σxᵢpᵢ.
Чем математическое ожидание отличается от среднего арифметического?
Математическое ожидание — теоретическая характеристика закона распределения, взвешенная по вероятностям. Среднее арифметическое считается по фактическим наблюдениям и является оценкой M(X).
Может ли M(X) быть числом, которого нет среди значений?
Да. Для игральной кости M(X) = 3,5, хотя грани 3,5 не существует. Математическое ожидание — это центр распределения, а не обязательно одно из его значений.
Какие свойства матожидания нужно знать?
M(C) = C, M(CX) = C·M(X), M(X + Y) = M(X) + M(Y), а для независимых величин M(XY) = M(X)·M(Y).
Как найти M(X) для биномиального распределения?
По готовой формуле M(X) = n·p, где n — число испытаний, p — вероятность успеха в одном испытании. Таблицу распределения строить не нужно.