Калькулятор статистики

Дисперсия, СКО, корреляция, вероятность — с пошаговым решением по формулам

Критерий согласия хи-квадрат

Проверяет согласие эмпирических частот с теоретическими по критерию Пирсона: строит расчётную таблицу, считает χ², степени свободы, критические значения и p-value.

Если оставить пустым, проверяется гипотеза о равномерном распределении. Можно вводить доли — они умножатся на общее число наблюдений.
Введите данные

Формула: χ² = Σ (O − E)² / E, df = k − 1

Пример: χ² = 4,0 < χ²крит(0,05; 5) = 11,07 → расхождение случайно

Разбор формулы и теория

Критерий согласия хи-квадрат Пирсона проверяет, случайно ли расхождение между наблюдаемыми частотами и теми, которых мы ожидаем по некоторой гипотезе. Наблюдаемая величина считается по формуле χ² = Σ (O − E)²/E: для каждой группы берут разность фактической и ожидаемой частоты, возводят в квадрат и делят на ожидаемую частоту, а затем всё складывают.

Нулевая гипотеза утверждает, что расхождение случайно и данные согласуются с теоретическим распределением. Полученное χ²_набл сравнивают с критическим значением из таблицы при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Если χ²_набл больше критического, гипотезу отвергают — распределения различаются значимо.

Число степеней свободы для проверки согласия равно df = k − 1, где k — число групп. Если параметры теоретического распределения (например, λ у Пуассона или μ и σ у нормального) оценивались по самой выборке, из df вычитают ещё по единице за каждый оценённый параметр. Для таблиц сопряжённости df = (строки − 1)(столбцы − 1).

Важное условие применимости: ожидаемая частота в каждой группе должна быть не меньше 5. Если в каких-то группах частоты малы, соседние интервалы объединяют — калькулятор предупреждает о таких группах. Если ожидаемые частоты не заданы, проверяется гипотеза о равномерном распределении: типичный случай задач про «правильную» игральную кость или равномерный спрос по дням недели.

Пример решения задачи

Условие. Кость подбросили 120 раз, грани выпали 18, 22, 20, 26, 14, 20 раз. Проверить гипотезу о правильности кости при α = 0,05.

1) H₀: кость правильная, все грани равновероятны.

2) Ожидаемая частота: E = 120 / 6 = 20 для каждой грани.

3) χ² = (18−20)²/20 + (22−20)²/20 + (20−20)²/20 + (26−20)²/20 + (14−20)²/20 + (20−20)²/20 = 0,2 + 0,2 + 0 + 1,8 + 1,8 + 0 = 4,0.

4) df = 6 − 1 = 5; χ²_крит(0,05; 5) = 11,07.

5) 4,0 меньше 11,07 → H₀ принимается.

Ответ: расхождение частот случайно, кость можно считать правильной.

Таблица критических значений χ²

Частые вопросы

Что показывает критерий хи-квадрат?

Насколько фактические частоты отличаются от теоретических. Большое значение χ² говорит о значимом расхождении, малое — о том, что различия объясняются случайностью выборки.

Как найти ожидаемые частоты?

Для гипотезы о равномерном распределении E = n / k. Для другого закона ожидаемую частоту считают как n, умноженное на вероятность попадания в группу по этому закону. В таблице сопряжённости E = (сумма строки × сумма столбца) / общая сумма.

Сколько степеней свободы брать?

При проверке согласия df = k − 1 минус число параметров, оценённых по выборке. Для таблицы сопряжённости df = (число строк − 1) × (число столбцов − 1).

Что делать, если ожидаемая частота меньше 5?

Объединить соседние группы, чтобы во всех интервалах ожидаемая частота стала не меньше 5. Иначе критерий даёт завышенное значение и вывод может оказаться ошибочным.

Можно ли вводить доли вместо частот?

Да. Если сумма введённых ожидаемых значений равна единице, калькулятор поймёт, что это вероятности, и сам умножит их на общее число наблюдений.