Считает вероятность появления ровно k редких событий по формуле Пуассона, накопленные вероятности, вероятность «хотя бы одного события» и весь ряд распределения.
Разбор формулы и теория
Распределение Пуассона описывает число редких независимых событий, происходящих за фиксированный промежуток времени или на фиксированном участке: звонки в колл-центр за час, опечатки на странице, отказы оборудования за сутки, посетители за минуту. Единственный параметр λ — это среднее число событий за рассматриваемый интервал.
Вероятность ровно k событий даёт формула P(X = k) = λᵏ · e^(−λ) / k!. Обратите внимание: λ должно относиться к тому же интервалу, что и вопрос задачи. Если известно 12 звонков в час, а спрашивают про 15 минут, нужно взять λ = 3.
Замечательное свойство закона Пуассона: математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны λ, а σ = √λ. Часто спрашивают вероятность «хотя бы одного события» — её считают через противоположное: P(X ≥ 1) = 1 − P(0) = 1 − e^(−λ).
Распределение Пуассона используют и как приближение биномиального, когда испытаний очень много (n больше 50), а вероятность успеха мала (p меньше 0,1). Тогда берут λ = np, и расчёт по формуле Пуассона заметно проще, чем возведение в большие степени по формуле Бернулли.
Пример решения задачи
Условие. В колл-центр в среднем поступает 3 звонка в минуту. Найти вероятность, что за минуту поступит ровно 2 звонка и что не поступит ни одного.
1) λ = 3, k = 2; e^(−3) ≈ 0,049787.
2) P(2) = 3² · e^(−3) / 2! = 9 · 0,049787 / 2 = 0,448083 / 2 ≈ 0,2240.
3) P(0) = 3⁰ · e^(−3) / 0! = 0,0498.
4) P(хотя бы один звонок) = 1 − 0,0498 = 0,9502.
Ответ: P(2) ≈ 0,224; P(0) ≈ 0,050.
Частые вопросы
Когда применяется формула Пуассона?
Для редких независимых событий, происходящих с постоянной средней интенсивностью: звонки, поломки, опечатки, посетители. Также как приближение биномиального распределения при большом n и малом p.
Что такое параметр λ?
Среднее число событий за рассматриваемый интервал. Он же равен и математическому ожиданию, и дисперсии распределения.
Как пересчитать λ на другой интервал?
Пропорционально длине интервала. Если λ = 12 событий в час, то за 15 минут λ = 12 · 0,25 = 3, а за две минуты λ = 0,4.
Как найти вероятность хотя бы одного события?
Через противоположное: P(X ≥ 1) = 1 − P(0) = 1 − e^(−λ). Калькулятор выводит это значение отдельной строкой.
Когда биномиальное можно заменить пуассоновским?
Практическое правило: n больше 50 и p меньше 0,1 (иногда требуют np меньше 10). Тогда берут λ = np, и погрешность приближения невелика.