Считает дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения: математическое ожидание, второй момент, дисперсию двумя способами и среднее квадратическое отклонение.
Разбор формулы и теория
Дискретная случайная величина задаётся законом (рядом) распределения — таблицей, в верхней строке которой стоят возможные значения xᵢ, а в нижней их вероятности pᵢ. Обязательное условие корректности: сумма всех вероятностей равна единице. Калькулятор проверяет это первым делом и предупреждает, если условие нарушено.
Дисперсия случайной величины D(X) — это математическое ожидание квадрата отклонения от математического ожидания: D(X) = M[(X − M(X))²]. На практике почти всегда пользуются эквивалентной и более удобной формулой D(X) = M(X²) − [M(X)]²: сначала находят M(X) = Σxᵢpᵢ, затем M(X²) = Σxᵢ²pᵢ, а потом вычитают квадрат первого из второго. Решение по обеим формулам показано в шагах — второй способ служит проверкой.
Среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) возвращает разброс в исходные единицы величины. Полезно помнить свойства: D(C) = 0, D(CX) = C²·D(X), D(X + C) = D(X), а для независимых величин D(X + Y) = D(X) + D(Y). Эти свойства часто позволяют решить задачу быстрее, чем прямым расчётом по таблице.
Если случайная величина подчиняется известному закону, дисперсия считается по готовой формуле: для биномиального распределения D = npq, для пуассоновского D = λ, для равномерного на отрезке [a; b] — (b − a)²/12. Соответствующие калькуляторы есть в этом же хабе.
Пример решения задачи
Условие. Случайная величина X задана рядом распределения: значения 1, 2, 4, 6 с вероятностями 0,2; 0,3; 0,4; 0,1. Найти D(X) и σ(X).
1) Проверка: 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = 1 ✔
2) M(X) = 1·0,2 + 2·0,3 + 4·0,4 + 6·0,1 = 0,2 + 0,6 + 1,6 + 0,6 = 3.
3) M(X²) = 1·0,2 + 4·0,3 + 16·0,4 + 36·0,1 = 0,2 + 1,2 + 6,4 + 3,6 = 11,4.
4) D(X) = M(X²) − [M(X)]² = 11,4 − 9 = 2,4.
5) σ(X) = √2,4 ≈ 1,549.
Ответ: D(X) = 2,4; σ(X) ≈ 1,55.
Частые вопросы
Как найти дисперсию случайной величины по таблице распределения?
Посчитайте M(X) = Σxᵢpᵢ, затем M(X²) = Σxᵢ²pᵢ и вычтите: D(X) = M(X²) − [M(X)]². Калькулятор показывает обе таблицы и проверяет результат по определению.
Чем эта дисперсия отличается от выборочной?
Здесь известен теоретический закон распределения с вероятностями, и дисперсия — точная характеристика случайной величины. Выборочная дисперсия считается по конкретным наблюдениям и лишь оценивает теоретическую.
Что делать, если сумма вероятностей не равна 1?
Значит, в условии ошибка или пропущено одно из значений. Найдите недостающую вероятность как единица минус сумма остальных и добавьте её в таблицу.
Какие свойства дисперсии полезно помнить?
D(C) = 0; D(CX) = C²D(X); D(X ± C) = D(X); для независимых величин D(X ± Y) = D(X) + D(Y). Дисперсия всегда неотрицательна.
Можно ли вводить вероятности в процентах?
Да. Если сумма введённых значений заметно больше единицы, калькулятор поймёт, что это проценты, и разделит их на 100.