Считает среднее квадратическое (стандартное) отклонение выборки и генеральной совокупности с полным разбором: среднее, квадраты отклонений, дисперсия, корень и правило трёх сигм.
Разбор формулы и теория
Среднее квадратическое отклонение (СКО, стандартное отклонение, «сигма») — это корень из дисперсии. В отличие от дисперсии оно измеряется в тех же единицах, что и сами данные, поэтому его удобно сравнивать со средним и интерпретировать: «средний балл 4,2 при отклонении 0,6» сразу говорит о разбросе оценок.
Формула та же, что и у дисперсии, только с корнем: S = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)) для выборки и σ = √(Σ(xᵢ − x̄)² / n) для генеральной совокупности. Порядок действий: считаем среднее, вычитаем его из каждого значения, возводим отклонения в квадрат, суммируем, делим на n или n − 1, извлекаем корень. Пропустить возведение в квадрат нельзя: сумма обычных отклонений всегда равна нулю и никакой информации о разбросе не даёт.
Практический смысл СКО раскрывается через правило трёх сигм: если данные распределены примерно нормально, то в интервал x̄ ± σ попадает около 68% значений, в x̄ ± 2σ — около 95%, а в x̄ ± 3σ — 99,7%. Всё, что вышло за три сигмы, считают аномалией или ошибкой измерения. Калькулятор считает эти границы для ваших данных автоматически.
СКО — база для многих других показателей: коэффициент вариации V = S/x̄ × 100%, стандартная ошибка среднего m = S/√n, z-оценка z = (x − μ)/σ, доверительный интервал x̄ ± t·m. Все они посчитаны на соседних страницах хаба.
Пример решения задачи
Условие. Найти среднее квадратическое отклонение выборки: 12, 15, 14, 10, 18, 16, 13, 12.
1) Среднее: x̄ = 110 / 8 = 13,75.
2) Квадраты отклонений: (−1,75)² + 1,25² + 0,25² + (−3,75)² + 4,25² + 2,25² + (−0,75)² + (−1,75)² = 3,0625 + 1,5625 + 0,0625 + 14,0625 + 18,0625 + 5,0625 + 0,5625 + 3,0625 = 45,5.
3) Выборочная дисперсия: S² = 45,5 / 7 = 6,5.
4) СКО: S = √6,5 ≈ 2,55. Генеральное: σ = √(45,5 / 8) = √5,6875 ≈ 2,385.
Ответ: S ≈ 2,55; σ ≈ 2,39.
Частые вопросы
В чём разница между дисперсией и СКО?
СКО — это квадратный корень из дисперсии. Дисперсия измеряется в квадратах единиц данных, а СКО — в тех же единицах, что и данные, поэтому его удобнее интерпретировать.
Что означает сигма в статистике?
Греческой буквой σ обозначают среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, а латинской S — выборочное. Фраза «отклонение в две сигмы» означает, что значение отстоит от среднего на два стандартных отклонения.
Как найти СКО в Excel?
Функция СТАНДОТКЛОН.В (STDEV.S) даёт выборочное отклонение с делением на n − 1, а СТАНДОТКЛОН.Г (STDEV.P) — генеральное с делением на n. Калькулятор выводит оба значения сразу.
Что такое правило трёх сигм?
Для нормального распределения в интервал x̄ ± σ попадает 68,3% значений, в x̄ ± 2σ — 95,4%, в x̄ ± 3σ — 99,7%. Значения за пределами трёх сигм считаются практически невозможными и обычно указывают на выброс или ошибку.
Может ли СКО быть больше среднего?
Да, если данные очень разнородны. В этом случае коэффициент вариации превысит 100%, и среднее арифметическое перестаёт быть показательной характеристикой ряда.