Калькулятор статистики

Дисперсия, СКО, корреляция, вероятность — с пошаговым решением по формулам

Коэффициент корреляции Пирсона

Считает линейный коэффициент корреляции Пирсона: строит расчётную таблицу сумм, подставляет в формулу, находит коэффициент детерминации и проверяет статистическую значимость связи.

Значения вводятся парами: первое из X соответствует первому из Y.
Введите данные
Подставить пример:

Формула: r = [n·Σxy − Σx·Σy] / √([n·Σx² − (Σx)²]·[n·Σy² − (Σy)²])

Пример: Для данных в полях выше r ≈ 0,946 — связь весьма высокая и прямая

Разбор формулы и теория

Коэффициент корреляции Пирсона r измеряет тесноту линейной связи между двумя количественными признаками. Он всегда лежит в промежутке от −1 до +1: значение +1 означает строгую прямую линейную зависимость, −1 — строгую обратную, 0 — отсутствие линейной связи. Знак коэффициента показывает направление связи, а модуль — её силу.

Для расчёта удобна формула через суммы: r = [n·Σxy − Σx·Σy] / √([n·Σx² − (Σx)²]·[n·Σy² − (Σy)²]). Она требует только пяти сумм — Σx, Σy, Σxy, Σx², Σy², — которые сводят в расчётную таблицу. Именно такую таблицу калькулятор и строит, а затем показывает подстановку с числами. Второй способ — через ковариацию: r = cov(X,Y) / (Sx·Sy); он приведён как проверка.

Тесноту связи принято описывать по шкале Чеддока: до 0,3 — слабая, 0,3–0,5 — умеренная, 0,5–0,7 — заметная, 0,7–0,9 — высокая, свыше 0,9 — весьма высокая. Квадрат коэффициента r² называют коэффициентом детерминации: он показывает, какая доля вариации Y объясняется влиянием X. Если r = 0,8, то r² = 0,64, то есть 64% изменчивости Y связано с X.

Коэффициент, посчитанный по небольшой выборке, может оказаться случайным, поэтому его проверяют на значимость по t-критерию: t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) сравнивают с табличным значением при df = n − 2. Калькулятор делает это автоматически и выводит p-value. И помните главное правило: корреляция не доказывает причинно-следственную связь — она лишь фиксирует совместную изменчивость.

Пример решения задачи

Условие. По данным о стаже (лет) X: 1, 2, 3, 4, 5 и выработке (шт.) Y: 10, 14, 15, 19, 22 найти коэффициент корреляции Пирсона.

1) Суммы: Σx = 15, Σy = 80, Σxy = 274, Σx² = 55, Σy² = 1366, n = 5.

2) Числитель: 5·274 − 15·80 = 1370 − 1200 = 170.

3) n·Σx² − (Σx)² = 5·55 − 225 = 50; n·Σy² − (Σy)² = 5·1366 − 6400 = 430.

4) Знаменатель: √(50 · 430) = √21500 ≈ 146,63.

5) r = 170 / 146,63 ≈ 0,9841. r² ≈ 0,968 — 96,8% вариации выработки объясняется стажем.

6) Значимость: t = 0,9841·√3 / √(1 − 0,9684) ≈ 9,59 больше t(0,05; 3) = 3,182 → связь значима.

Ответ: r ≈ 0,98 — связь весьма высокая, прямая, статистически значимая.

Частые вопросы

Что означает коэффициент корреляции 0,8?

Это высокая прямая линейная связь: при росте одного признака второй в среднем тоже растёт. Коэффициент детерминации r² = 0,64 означает, что 64% вариации Y объясняется влиянием X.

Какая корреляция считается сильной?

По шкале Чеддока: до 0,3 — слабая, 0,3–0,5 — умеренная, 0,5–0,7 — заметная, 0,7–0,9 — высокая, свыше 0,9 — весьма высокая.

Что значит отрицательная корреляция?

Связь обратная: при увеличении одного признака второй в среднем уменьшается. Сила связи определяется модулем коэффициента, поэтому r = −0,85 — это такая же сильная связь, как и +0,85.

Когда использовать Спирмена вместо Пирсона?

Если данные порядковые (баллы, ранги, места), распределение сильно отличается от нормального, есть выбросы или связь нелинейная, но монотонная. Тогда корректнее коэффициент Спирмена.

Как проверить значимость корреляции?

Считают t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) и сравнивают с критическим значением Стьюдента при df = n − 2. Если |t| больше табличного, связь значима. Калькулятор делает эту проверку автоматически.

Корреляция доказывает причинность?

Нет. Высокая корреляция может возникать из-за общей третьей причины или случайного совпадения. Для вывода о причинности нужен эксперимент или содержательная теория.