Считает вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях по формуле Бернулли, а также накопленные вероятности, числовые характеристики и весь ряд распределения.
Разбор формулы и теория
Схема Бернулли — это серия из n независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с одной и той же вероятностью p («успех») либо не происходит с вероятностью q = 1 − p. Число успехов X в такой серии подчиняется биномиальному распределению, а вероятность ровно k успехов даёт формула Бернулли: P(k) = Cₙᵏ · pᵏ · q^(n−k).
В формуле три сомножителя: число сочетаний Cₙᵏ показывает, сколькими способами k успехов могут расположиться среди n испытаний, pᵏ — вероятность того, что нужные k испытаний окажутся успешными, q^(n−k) — вероятность того, что остальные будут неудачными. Калькулятор считает каждый сомножитель отдельно, поэтому решение легко переписать в тетрадь.
Помимо P(X = k) в задачах часто просят «не более k», «не менее k» или «хотя бы одно». Это накопленные вероятности: P(X ≤ k) — сумма всех членов от 0 до k; P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1); P(X ≥ 1) = 1 − qⁿ. Все эти значения выводятся в результате.
Числовые характеристики биномиального распределения считаются по готовым формулам: M(X) = np, D(X) = npq, σ = √(npq). Наивероятнейшее число успехов k₀ находят из двойного неравенства np − q ≤ k₀ ≤ np + p. При больших n и малых p биномиальное распределение приближают пуассоновским с λ = np, а при больших n и умеренных p — нормальным (теоремы Муавра — Лапласа).
Пример решения задачи
Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,3. Сделано 10 выстрелов. Найти вероятность ровно четырёх попаданий и вероятность хотя бы одного попадания.
1) q = 1 − 0,3 = 0,7; C₁₀⁴ = 10! / (4!·6!) = 210.
2) P(4) = 210 · 0,3⁴ · 0,7⁶ = 210 · 0,0081 · 0,117649 ≈ 0,2001.
3) P(хотя бы одно) = 1 − P(0) = 1 − 0,7¹⁰ = 1 − 0,02825 ≈ 0,9718.
4) M(X) = 10 · 0,3 = 3; D(X) = 10 · 0,3 · 0,7 = 2,1; σ ≈ 1,449.
Ответ: P(4) ≈ 0,200; P(X ≥ 1) ≈ 0,972.
Частые вопросы
Когда применяется формула Бернулли?
Когда проводится фиксированное число независимых испытаний, в каждом из которых событие происходит с одной и той же вероятностью, и нужно найти вероятность определённого числа успехов.
Как найти вероятность «хотя бы одного» успеха?
Через противоположное событие: P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − qⁿ. Это гораздо быстрее, чем складывать все остальные вероятности.
Что такое наивероятнейшее число успехов?
Значение k, при котором вероятность максимальна. Оно находится из неравенства np − q ≤ k₀ ≤ np + p и обычно близко к np.
Чем биномиальное распределение отличается от пуассоновского?
Биномиальное описывает число успехов в фиксированном числе испытаний, пуассоновское — число редких событий за интервал времени. При больших n и малых p биномиальное хорошо приближается пуассоновским с λ = np.
Как посчитать P(X ≤ k)?
Сложить вероятности P(0) + P(1) + … + P(k). Калькулятор выводит эту сумму автоматически, а также P(X ≥ k) и P(X > k).